حروف یونانی؛ سنجش حساسیت

در یک سرمایه‌گذاری درست، سرمایه‌گذار سرمایه‌ی خود را بین انواع و اقسام دارایی‌ها نظیر سهام و اوراق قرضه و اختیارات و ارز و املاک و ... تقسیم می‌کند تا ریسک آن‌ها را کم کند. از نحوه‌ی این تخصیص سرمایه که بگذریم، این سوال پیش می‌آید که ارزش یک سبد سرمایه‌گذاری تا چه حد نسبت به تغییرات قیمت هر یک از دارایی‌های سبد حساس است. پاسخ گفتن به این سوال خیلی سخت نیست. در ریاضیات برای سنجش حساسیت از مشتق استفاده می‌کنند. کافی است از ارزش سبد نسبت به قیمت آن دارایی مشتق بگیریم. مثلا سبدی که تشکیل شده است از دو ورق از سهام الف و یک  ورق از سهام ب، ارزش آن برابر است با جمع ارزش هر سه روق. مشتق ارزش سبد نسبت به قسمت سهام الف برابر دو است که نشان دهنده‌ی حساسیت ارزش سبد نسبت به سهام الف است. این حساسیت را با حرف یونانی دلتا (∆) نشان می‌دهند و رسما آن را دلتای سبد می‌نامند.
دلتای سبد از طرفی حساسیت سبد نسبت به تغییر دارایی‌های ریسکی آن است، اما از طرف دیگر، چیزی نیست جز تعداد اوراق سهام موجود در سبد از هر از دارایی‌های ریسکی؛ که همان ترکیب سبد است. بنابراین، دلتای سبد مفهوم بسیار ساده‌ای است. مثلا اگر سبد ما متشکل شده باشد از ۱۰ ورق از سهام الف و یک حساب بانکی، دلتای آن برابر ۱۰ است که آن را قبلا هم می‌دانستیم. سوال این جاست که چرا باید دلتای سبد این قدر مهم باشد. آیا مواردی می‌شناسیم که در آن دلتای سبد به راحتی بالا قابل محاسبه نباشد؟
برای پاسخ با این سوال یک مثال از ریسک زدایی [hedging] می‌آوریم. فرض کنید یک موسسه‌ی مالی، اختیار خریدی روی دارایی ریسکی مثلا همان سهام الف منتشر می‌کند. به عبارت دیگر، این موسسه متعهد می‌شود که در زمان مشخصی در آینده سهام الف را به قیمت درج شده در اختیار خرید از  دارنده‌ی اختیار و در صورت تقاضای او بخرد. در این نوع اختیار، دارنده فقط در صورتی این کار را می‌کند که قیمت سهام الف در بازار در زمان اجرای قرارداد، از قیمت درج شده در قرارداد بیشتر باشد. با این کار ریسک افزایش قیمت در بازار را برای خودش خنثی می‌کند و به منتشر کننده که موسسه‌ی مالی است، انتقال می‌دهد. این موسسه باید به نحوی با این ریسک مقابله کند. شیوه‌ی معمول آن این است که یک سبد معادل‌ساز یا یدک [replicating portfolio] متشکل از سهام الف و حساب بانکی ایجاد می‌کند که ارزش آن برابر ارزش اختیار است. بدین شکل در زمان اجرای قرارداد، با فروش آن سبد تعهد ناشی را خنثی می‌کند. برای این کار باید بداند که چه مقدار از سهام الف [دارایی ریسکی] در سبد قراردهد و چه مقدار پول در بانک [دارایی بدون ریسک]. چیزی که می‌داند ارزش بازاری اختیار خرید است نه ترکیب سبد. بنابراین، باید به نحوی ترکیب سبد را مشخص کند.
همان‌طور که در بالا دیدیم، مقدار سهام الف در سبد برابر مشتق ارزش سبد نسبت به قیمت سهام الف است. این همان دلتای سبد است که نمی‌دانیم، چون نمی‌دانیم چه مقدار از سهام الف در سبد بگذاریم. برای یافتن دلتای سبد، از آن جا که قرار است ارزش سبد با ارزش اختیار خرید برابر باشد، ارزش بازاری اختیار خرید را عوض ارزش کل سبد در نظر می‌گیریم. در ضمن، قیمت سهام الف را در بازار داریم. یک روش ابتدایی برای یافتن دلتای سبد این است که در یک زمان کوتاه، مثلا ده ثانیه، با تقسیم تغییرات قیمت  اختیار خرید بر تغییرات قیمت سهام الف یک تخمین برای دلتای سبد در آن لحظه به دست بیاوریم.

دلتای اختیار خرید مثبت است، اما در مورد اختیارات دیگر دلتا می‌تواند مثبت یا منفی باشد یا حتی تغییر علامت دهد. به علاوه، دلتا می‌تواند خیلی بزرگ یا خیلی کوچک باشد. مقدار منفی دلتا به معنی فروش استقراضی سهام است.

برای یک ریسک‌زدایی موفق، باید به اندازه‌ی دلتای محاسبه‌شده، سهام الف را در سبد قرار داد و با تغییرات قیمت بازار، مقدار آن را تطبیق داد. سوال این است که تغییرات دلتا چه قدر می‌تواند زیاد باشد. احتمالا می‌دانید که خرید و فروش سهام در بازارهای مالی هزینه‌هایی تحت عنوان هزینه‌های معاملاتی دارد. اگر قرار باشد برای ایجاد سبد معادل‌ساز، دلتا را در یک روز چندین بار تغییر داد یا حتی مقدار آن را از مثلا مثبت ۱۵۰ به منفی ۲۰۰ رسانید، هزینه‌های معاملاتی این قدر زیاد می‌شود که انتشار اختیار خرید را از صرفه می‌اندازد، خصوصا که در این روز قیمت سهام الف تغییرات جزئی کرده باشد. بنابراین، حساسیت خود دلتای نسبت به قیمت سهام الف هم اهمیت پیدا می‌کند. این حساسیت را به حرف یونانی گاما [Γ] نشان می‌دهند.

به عبارت دیگر، دلتا را مشتق اول قیمت اختیار خرید نسبت به دارایی ریسکی تحت آن است، و گاما مشتق دوم. در معمولی‌ترین روش‌های ریسک‌زدایی و معادل‌سازی، سعی می‌کنند که با تغییر ترکیب سبد، همزمان دلتا و گاما را کنترل کنند.

حساسیت‌های دیگری هم در مباحث مربوط به اختیار مورد اشاره قرار می‌گیرد که تقریبا همه‌ی آن‌ها را با حروف یونانی نشان می‌دهند! مثلا تِتا [Θ] حساسیت قیمت را نسبت به زمان باقی‌مانده تا اجرا اندازه می‌گیرد، یا رُو [ρ] حساسیت نسبت به نرخ بهره‌ی بدون ریسک. این حساسیت‌ها تعیین می‌کنند که ریسک‌زدایی اختیارات و سایر ابزار مشتقه مالی تا چه حد سخت یا آسان است و ریسک را از منتشرکننده‌ی ورق دفع می‌کند و به این شکل، تا حدی به منتشرکننده‌ نشان می‌دهد که در عمل قیمت ورق را چه‌قدر باید نسبت به قیمت نظری آن تغییر دهد تا از پس ناکارآمدی بازار برآید.

پ.ن.: این مباحث را می‌توان در اغلب کتاب‌های ریاضیات مالی و مهندسی مالی یافت. منبع سریع این مباحث همان ویکی پدیای خودمان است. بنده از بسیاری از جزئیات عملیاتی و پیاده‌سازی‌های این روش‌ها بی‌خبرم. برخی از روش‌های محاسباتی آن مثل تفاضلات متناهی یا مونت کارلو را می‌دانم. روش تفاضلات متناهی در اغلب کتب استاندارد مهندسی و ریاضی مالی که به معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی پرداخته‌اند، موجود است. روش مونت کارلو هم در کتاب گلاسرمان تحت عنوان روش‌های مونت کارلو برای مهندسی مالی یافت می‌شود. برای آشنایی با جزئیات عملیاتی هم کتاب جان هال را توصیه می‌کنم.

مساله‌ی دو پاکت

در احتمال، پارادوکسی وجود دارد به نام «دو پاکت» که عبارت است از این که در دو پاکت هر کدام مقداری پول قرار داده‌اند به طوری که در یکی دو برابر دیگری و نمی‌دانیم کدام کدام است. سپس از ما می‌خواهند که یک پاکت را انتخاب کنیم و داخل آن را نگاه کنیم. سپس، از ما می‌پرسند که آیا قصد داریم پاکت را عوض کنیم یا نه. این محاسبه‎ی ساده نشان می‌دهد عوض کردن پاکت همیشه کار درستی است. اگر مقدار پول پاکتی که باز کردیم را ‌x بنامیم، مقدار متوسط پول پاکت دیگر برابر است با 2x یا x/2. بنابراین به طور متوسط در پاکت دیگر 

2x*1/2+x/2*1/2=5*x/4

پول موجود است که از پاکت اول بیشتر است!

اما این محاسبه غلط است و غلط آن در این فرض است که احتمال نصف یا دوبرابر بودن پول پاکت دیگر برابر 1/2 است. در واقع تا توزیع توام پول دو پاکت را ندانیم، قادر به محاسبه‌ی میانگین پول پاکت دیگر نیستیم. در این پست قصد ندارم بیشتر در مورد این پارادوکس صحبت کنم و مستقیما به سراغ مساله‌ی «دو پاکت» می‌روم.

این مساله عبارت است از این که همان دو پاکت بالا را داریم با این فرض که توزیع توام پول درون آن‌ها را می‌دانیم. سوال این است که آیا راه‌کاری (استراتژی) وجود دارد که بتوانیم با بکارگیری آن با احتمال بیشتر از 1/2 پاکت پرپول‌تر را انتخاب کنیم؟

پ.ن.: جواب بله است!

پ.ن: راه‌کار عبارت است از این که یک عدد تصادفی با توزیع نرمال (یا هر توزیع دیگری که محمل آن تمام اعداد حقیقی باشد) انتخاب می‌کنیم. اگر از مقدار پول پاکتی که انتخاب کردیم کمتر بود، انتخاب خود را حفظ می‌کنیم. اگر نه پاکت را عوض می‌کنیم.

توصیف محیط اجسام با معادله‌ی حرارت

محیط یک جسم متناسب است با سرعت آنی خروج حرارت از آن، وقتی که دمای آن جسم یک درجه و دمای محیط اطراف آن صفر درجه باشد. ثابت این تناسب به جنس جسم و جنس محیط اطراف بستگی دارد.