مدل بلک - شولز چه مشکلی دارد؟ قسمت چهارم

با عرض معذرت فراوان به خاطر تاخیر در سری پست‌های مشکلات مدل بلک-شولز، تصمیم دارم که این مبحث را بالاخره با سرانجامی برسانم. تمام پست‌های قبلی (اول، دوم، و سوم) بحث توزیع آماری داده‌های قیمت سهام و آزمون نرمال بودن بازده‌ی سهام را مطرح کردم. قصدم از مدت‌ها قبل این بود که در این پست هم به همین بپردازم و به بیانی دقیق‌تر، با استفاده از تست کلموگوروف-اسمیرنف، فرض نرمال بودن را در بسیاری از داده‌ها رد کنم. این کار را هم کردم و حتی به مشکلات دیگر مدل از جمله ضریب نوسان ثابت و عدم تطبیق آن با ضریب نوسان القایی (implied volatility) و تبسم ضریب نوسان (volatility smile) اشاره کنم. اما اکنون که زمان زیادی از سه پست قبلی گذشته است، نظرم به کلی تغییر کرده است. دلیل این تغییر هم چیزی نیست جز این که نگاه پخته‌تری به مساله پیدا کرده‌ام. منکر این نیستم که می‌توان با انتخاب فرایندهای جهش-پخش (jump-diffusion models) به عنوان مدل قیمت سهام و یا وابسته کردن ضریب نوسان به قیمت سهام (local volatility) و حتی متغیرهای دیگر (stochastic volatility)، تطبیق بهتری از مدل با داده‌ها یافت. اما جنبه‌هایی از مساله را نمی‌توان با پیچیده کردن مدل فهمید.
برای روشن‌تر شدن مطلب، عجالتا فرض کنید که قانون حکم فرما بر قیمت اعلان شده‌ی سهام در بازار همان مدل بلک-شولز است و نه غیر. در مقاله‌های کلاسیک مرتون و بلک-شولز، قیمت یک اختیار اروپایی در مدل بلک-شولز محاسبه شده است، با فرض این که بازار کامل است. بازار کامل بازاری است که در آن می‌توان برای هر قرارداد مشتقی یک سبد معادل‌ساز ساخت که تعریف آن این است که می‌توان ریسک ناشی از انتشار هر قرارداد مشتق را با تشکیل سبدی از سهام موجود در بازار خنثی کرد. این نتیجه‌ی به وضوح غیرواقعی، بر چندین فرض استوار است. فرض اول این که می‌توان به طور پیوسته و بی وقفه در بازار خرید و فروش کرد. دیگر این که در خرید و فروش سهام هیچ هزینه‌ی معاملاتی به خریدار یا فروشنده تحمیل نمی‌شود. سوم این که برای تطبیق سبد معادل‌ساز با تغییرات قیمت سهام (رجوع شود به پست حروف یونانی)، می‌توان هر میزان سهام را با قیمت اعلان شده در بازار خرید.
بر مبنای فرض اول و نتیجه‌ی بلک-شولز، برای این که ریسک قراردادهای مشتق را خنثی کنیم، باید بر اساس استراتژی دلتا-ریسک‌زدایی (delta-hedging)، به طور مرتب با هر اعلان قیمت جدید، سبد معادل‌ساز را تغییر دهیم. یک خطا ناشی از این است که قیمت برخلاف مدل بلک-شولز پیوسته اعلان نمی‌شود. این خطا را می‌توان به خوبی محاسبه کرد. در واقع چون جواب معادله‌ی با مشتقات جزئی بلک-شولز هموار است، می‌توان خطای اجرای استراتژی گسسته را محاسبه کرد و هزینه‌ی آن را به قیمت اختیار افزود. برای مثال می‌توانید به این مقاله‌ی کلاسیک رجوع کنید یا در گوگل جستجو کنید «delta-hedging in discrete-time».
اما خطای دیگر ناشی از این است که بر مبنای فرض دوم، هزینه‌ی معاملاتی در نظر گرفته نشده است. اگر شما در طول یک روز بخواهید با هر اعلان قیمت؛ مثلا ۱۰۰۰ بار در روز؛ سبد معادل‌ساز را تطبیق دهید، باید روزی ۱۰۰۰ معامله انجام دهید و با هر معامله، هزینه‌ی معاملاتی پرداخت کنید. نشان‌داده شده است که با اجرای استراتژی بلک-شولز، هزینه‌های معاملاتی به بی‌نهایت میل می‌کند که عملا استراتژی را از کارایی می‌اندازد! بر خلاف مساله‌ی مطرح شده در پاراگراف بالا، این بار مشکل اساسی‌تر است. مثلا این و این نشان داده‌اند که با اعمال هزینه‌های معاملاتی در معاملات گسسته، می‌توان همان مدل بلک-شولز را به کار برد اما با یک ضریب نوسان دیگر که به هزینه‌های معاملاتی و بسامد معاملات بستگی دارد. بعد از این مقالات، افراد زیادی مساله را پیش برده اند. برخی به مدل‌های غیرخطی رسیده‌اند و برخی دیگر خطاهایی از مرتبه‌های مختلف برای هزینه‌های معاملاتی کوچک محاسبه کرده‌اند.
مساله‌ی سوم هم جدی است. هزینه های نقدشوندگی هزینه‌هایی هستند که در در معاملات واقعی تاثیر می‌گذارند. مثلا شما قیمت بازاری سهام را ۱۲۰ می‌بینید. تصمیم می‌گیرید که سهام بخرید و در جدول پیشنهاد فروش (bid) فقط ۵۰۰ سهم به قیمت ۱۲۰ موجود است. قیمت بعدی ۱۲۲ است. اگر شما نیاز به ۵۸۰ سهم داشته باشید، باید ۵۰۰ عدد آن را با قیمت ۱۲۰ و ۸۰ عدد آن را با قیمت ۱۲۲ بخرید. بنابراین، قیمت تمام‌شده سهام ۱۲۰/۲۸ خواهد بود نه ۱۲۰. به مقدار ۰/۲۸ هزینه‌ی نقدشوندگی می‌گویند. هزینه‌های نقدشوندگی هم همانند هزینه‌های معاملاتی در مدل بلک-شولز به بی‌نهایت میل می‌کنند. بنابراین، اجرای استراتژی پیشنهادی مدل بلک-شولز را غیرممکن می‌سازند. بنابراین، روش‌های نظیر ریسک‌زدایی از بالا (super-hedging) پیشنهاد شده است و با استفاده از اصول بهینه‌سازی، استراتژی‌های قابل اجرایی‌تر در وجود هزینه‌های نقدشوندگی ارائه می‌دهند. برخی از این رویکردها به معادلات غیرخطی منجر می‌شوند که هم‌چنان بر استراتژی‌های پیوسته اصرار دارند؛ برخی دیگر هم استراتژی‌های گسسته و رفتار مجانبی آن‌ها را بررسی کرده‌اند. یک مرور کلی بر همه‌ی آن‌چه را در مورد هزینه‌های نقدشوندگی در ریاضیات مالی می‌دانیم، می‌توان در این کتاب یافت.
ذکر این نکته را ضروری می‌دانم که معامله‌ی پیوسته هرگز امکان‌پذیر نیست. معامله‌ی با فرکانس بالا هم وقتی سودمند است که سود معامله هزینه‌های معاملاتی و نقدشوندگی را پوشش دهد که در مورد ریسک‌زدایی از قراردادهای مشتق چنین اتفاقی محال است. بنابراین، یافتن یک استراتژی پیوسته فقط وفقط برای این است که آن را به طور گسسته اعمال کنیم. همان‌طور که قبلا گفته شد، خطای اعمال گسسته‌ی یک استراتژی پیوسته قابل اندازه گیری است و معمولا چندان زیاد نیست.
بنابراین، مدل بلک-شولز صرف نظر از عدم تطبیق آن با توزیع آماری داده‌های قیمت سهام، مشکلات اساسی‌تری هم دارد. حتی اگر مدلی یافت شود که با توزیع آماری داده‌ها تطبیق داشته باشد، باز هم مشکلات بالا سر جای خود هستند. با نگاهی به ادبیاتی که این مشکلات را مورد بررسی قرارداده‌اند، می‌توان دریافت که این مشکلات آن قدر اساسی هستند که حتی حل آن‌ها در مدل ساده‌ی بلک-شولز هم می‌تواند دریچه‌ی جدیدی باز کند. با این وجود، در بسیاری از این مقالات، مدل‌های کلی‌تر هم بررسی شده‌اند.