مقایسه‌ی ریاضیات مالی و مهندسی مالی

ریاضیات مالی شاخه‌ای از ریاضیات کاربردی است که به بازارهای مالی می‌پردازد. شروع این شاخه را پایان‌نامه‌ی دکتری لویی بشولیه (Louis Bachelier) در ۱۹۰۰ می‌دانند. بشولیه اعتقاد داشت «تنها قانون حاکم بر بازار بورس، قانون احتمال است». تخصص اصلی بشولیه حرکت براونی و فرایندهای مشتق از آن تحت عنوان فرایندهای پخش بود. حرکت براونی یک نوع حرکت تصادفی است که بشولیه از آن برای مدل‌سازی تغییر قیمت سهام در زمان استفاده کرد. به عبارت دقیق‌تر او فرض کرد که قیمت سهام به شکل غیر قابل پیشبینی تصادفی است. سپس قراردادهای اختیار خرید و فروش را با استفاده از آن قیمت‌گذاری کرد. در زمان بشولیه، علم احتمال شکل دقیقی نداشت و شکاف‌های زیادی در آن وجود داشت. بشولیه یکی از اولین کسانی بود که یک قدم بزرگ در پرکردن این شکاف‌ها برداشت. نشانه‌هایی وجود دارد که آندری کلموگوروف که اساسی‌ترین شکاف؛ یعنی مبانی علم احتمال؛ را به همراه بسیاری از شکاف‌های دیگر آن، پرکرده است، از کارهای بشولیه الهام گرفته بود [به این مقاله‌ی سودمند مراجعه کنید]. کلموگوروف علاوه بر پایه‌گذاری  مبانی علم احتمال، کارهای اساسی فراوانی در این علم انجام داده است. می‌توان به جرات گفت که کارهای او وشاگردانش از تمام آن چه تا آن موقع در احتمال ایجاد شده بود، ارزش‌مندتر است. این نکته را که کلموگوروف از کار بشولیه الهام گرفته بود، می‌توان این طور تعبیر کرد که مدل‌سازی بازارهای مالی در پیشرفت علم احتمال نقش داشته است. ذکر این نکته ضروری است که منظورمان از علم احتمال در این متن، آنالیز تصادفی است که به بررسی فرایندهای تصادفی مارکف زمان-حالت پیوسته؛ فرایندهای پخش؛ و نیم-مارتینگل‌ها می‌پردازد؛ کارهایی که در در قرن بیستم عمدتا توسط آندری کلموگوروف، نوربرت وینر، کی‌ایوشی ایتو، ژوزف دوب و پال لوی انجام شد.
این مقدمه‌ی کوتاه بالا آن جهت است که بدانیم احتمال تا چه‌ حد با ریاضیات مالی گره‌ خوده است. ریاضیات مالی عبارتی است که البته در زمان بشولیه یا کلموگوروف وجود نداشته است. این عبارت مربوط به حدود سال‌های ۱۹۷۰ برمی‌گردد که فیشر بلک، مایرن شولز و رابرت سی مرتون (رابرت سی مرتون معروف را با پدر او رابرت کی مرتون معروف اشتباه نگیرید! جالب است بدانید هر دو نوبلیست بوده‌اند) مدل معروف بلک-شولز را معرفی کردند. از بین این سه نفر،  مرتون به جنبه‌های ریاضی کار آشناتر بود و می‌دانست که ارزیابی یک اختیار در این مدل چه میراث غنی پشت خود دارد. از آن زمان تا به حال، تلاش ریاضی‌دانان برای درک بیشتر‌ ِ آن‌چه در مدل‌ بلک-شولز، و مدل‌های بعدی ِالهام گرفته شده از آن، ادامه داشته است. بنابراین، بخش زیادی از ریاضیات مالی به قیمت‌گذاری ابزار مشتقه‌ی مالی اختصاص دارد. در این بخش سعی می‌کنند با درک رفتار قیمت در بازار، مدل‌های مفیدتری ارائه دهند. (خوب است که این جمله‌ی معروف انیشتن را بدانید: «هیچ مدلی درست نیست، اما برخی از آن‌ها مفید هستند.» بنابراین سعی نکنید که بگویید فلان مدل غلط است. غلط بودن آن مفید بودن آن را منتفی نمی‌کند.) سپس، با استفاده از تکنیک‌های نسبتا پیشرفته ریاضی، گزاره‌ای کمی یا کیفی در مورد قیمت ابزار مشتقه‌ی مالی ارائه می‌دهند. از آن‌جا که بازارهای مالی خیلی پیچیده‌اند، تحقیقات مفصلی در این رشته در جریان است. به قول اندرو لو، «برای توجیه ۹۹٪ یافته‌ها در فیزیک سه قانون کافی است. اما در فایننس، برای توصیف ۳٪ داده‌ها  به بیش از ۹۹ قانون نیازداریم.» [به نقل از امانوئل دِرمان  که فیزیک‌دان فعال در بازارهای مالی است، از اینجا].
می‌توان تحقیقات ریاضی مالی را به دودسته‌ی مجرد و کاربردی تقسیم کرد. سودمندی مستقیم آن بخش از این تحقیقات که بسیار مجرد است، در بازارهای مالی همیشه مبنای مجادله بوده است. اما بجز چند فرد رادیکال؛ اینجا و اینجا؛ کمتر جامعه‌ی علمی به تعطیل شدن تحقیقات مجرد اعتقاد دارد. چرا که بسیاری از افراد فعال در بازار، از برنامه‌های ریاضی مالی دانشگاه‌هایی بیرون می‌آیند که توسط همین افراد گردانده می‌شود. پس منطقی نیست که این بخش را از کار بیندازیم. استدلال دیگر هم این است که نتایج تحقیقات مجرد علمی به شناخت کیفی از پدیده‌ها منجر می‌شود. (استدلال دوم از نظر من بسیار مهم‌تر از استدلال اول است.) از بزرگان این دسته می‌توان به افرادی نظیر نیکول الکرویی، والتر شاخرمایر، فردی دلبان، استیو شریو، ایانیس کاراتزاس و بسیاری دیگر اشاره کرد. تمام این افراد یا احتمال‌دان و تصادفی‌کار حرفه‌ای هستند یا حداقل با احتمال آشنایی فراوانی دارند.
در دسته‌ی دوم، تحقیقات عمدتا با داده‌های واقعی سروکار دارند یا از آن‌ها الهام گرفته می‌شوند. در این بخش، محققانی کار می‌کنند که بیشتر با اتفاقات روزمره‌ی بازار سروکار دارند و بخشی بزرگی از آن‌ها تحت عنوان کوانت برای موسسات مالی کار می‌کنند. کارهایی که آن‌ها انجام می‌دهند، بسیار متنوع است؛ از کار در واحد تحلیل مقداری (Quantitative analysis) گرفته تا کار در موسسات تحقیقاتی وابسته به بانک‌ها. عمدتا کار این عده نوشتن نرم‌افزار است یا ایجاد روش‌هایی که منجر به یک نرم‌افزار کاربردی می‌شود و بر خلاف دسته‌ی اول، نتایج کارشان بسیار ملموس‌تراست. کارهایی که این دسته انجام داده‌اند در بسیاری از موارد الهام بخش دسته‌ی اول برای ساختن مدل‌های بهتر و بررسی خواص کیفی آن مدل‌ها بوده است. در جهت معکوس، کارهای دسته‌ی اول هم راهگشای دسته‌ی دوم برای درک بهتر پدیده‌های مالی بوده‌ است. در بسیاری از موارد هم ابداعات آن‌ها منجر به روش‌هایی شده است که در بازارهای مالی به خوبی جا افتاده‌اند؛ البته شاید نه به اندازه‌ی مدل بلک-شولز. افرادی نظیر امانوئل دِرمان، مارکو آولاندا، جان هال، دِرِل دوفی، رافائل دوادی و اسامی فراوان دیگری در این دسته قرار می‌گیرند. همان طور که مشاهده می‌کنید، تحصیلات دانشگاهی برخی از این افراد در حوزه‌ی ریاضی و احتمال نبوده است اما آثارشان نشان می‌دهد که تسلط قابل توجهی به علم احتمال مدرن و آنالیز تصادفی دارند.
مجموع آنچه در چند پاراگراف بالا گفته شد، تصویری از رشته‌ی ریاضی مالی ایجاد می‌کند. اما سوال این است که مهندسی مالی چیست و چه رابطه‌ای با ریاضیات مالی دارد. همان‌طور که در بالا اشاره شد، بسیاری از ریاضی‌‌دانان مالی، برنامه‌های کارشناسی ارشدی را مدیریت می‌کنند که هدف آن تربیت افرادی است که بتوانند این روش‌ها را درک کرده و آن‌ها را در موسسات مالی به کار گیرند. موسسات مالی بسیاری در سراسر دنیا از وجود این افراد استفاده می‌کنند. هدف این دوره‌ها، تربیت افراد محقق برای ادامه‌ی تحصیل در دوره‌ی دکتری نیست. چرا که برای این منظور باید احتمال‌دان تربیت کرد. در عوض این دوره‌ها که اغلب مهندسی مالی و گاهی ریاضیات مالی نامیده می‌شوند، احتمال را نسبتا سطحی تدریس می‌کنند و در عوض با ارائه‌ی دروس دیگری نظیر آمار، برنامه‌نویسی، بهینه‌سازی و برخی دروس اقتصاد و فایننس، فارغ‌التحصیلان را برای بازار کار آماده می‌کنند. برخی از معروف‌ترین این دروه‌ها عبارت‌اند از دوره‌‌ی مهندسی مالی دانشکده‌ی تحقیق در عملیات دانشگاه کلمبیا، دوره‌‌ی ریاضی مالی دانشکده‌ی تحقیق در عملیات دانشگاه پرینستون،  دوره‌‌ی ریاضی مالی دانشکده‌ی ریاضی دانشگاه کارنگی ملون. هسته‌ی اصلی و اجزاء جداناپذیر این دوره‌ها درس‌های احتمال و آنالیز تصادفی، قیمت‌گذاری اوراق مشتقهَ، آمار، بهینه‌سازی و برنامه‌نویسی هستند. بنابه فراخور حال دانشگاه و بسته به این که کدام یک از دیگر دانشکده‌ها در برگزاری این دوره مشارک می‌کنند، درس‌هایی از اقتصاد و فایننس هم به این دروس اضافه می‌شود، که البته می‌تواند در هر دانشگاه متفاوت باشد. در بسیاری از این دوره‌ها درس‌های اختیاری زیادی وجود دارد تا حدی که می‌توان بدون اخذ دروس اقتصاد یا فایننس و در عوض گرفتن دروس ریاضی  مربوط به فایننس مثل فرایند‌های تصادفی و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی هم فارغ‌التحصیل شد. گاهی هم این دوره را با دوره‌های دیگری مثل آمار بیمه مخلوط می‌کنند. مثلا دانشگاه ما دوره‌ی کارشناسی ریاضیات بیمه و آمار ارائه می‌دهد.
در مجموع، می‌توان نتیجه گرفت که مهندسی مالی همان ریاضیات مالی است که از عمق ریاضی آن کاسته‌ایم تا در عوض نتایج آن را در عمل به کار بگیریم.

پ.ن.: با نوشتن نظر خود در پایین، در کامل‌تر کردن این متن مرا یاری کنید. ممنون.