کوتاه در مورد robust pricing

robust pricing (ترجمه‌ی مناسبی سراغ ندارم) از این جا شروع می‌شود که مدل‌های تصادفی قیمت دارایی‌های مشکلات خاص خود را دارند. مثلا در پست‌های قبلیِ این (۱، ۲، ۳ و ۴) وبلاگ در مورد اشکالات مدل بلک-شولز توضیحاتی دادم. هر مدل دیگری هم کم و بیش همین مشکلات را دارد. خصوصا در قیمت گذاری ابزار مشتقه‌ی مالی همیشه باید نگران این بود که ولاتیلیتی را اشتباه تخمین بزنیم و از مدل غلطی برای ولاتیلیتی استفاده کنیم. اولین قضیه‌ی مهم در این زمینه می گوید که اگر ولاتیلیتی مدل بیشتر از آن چه که باشد تخمین زده شود، قیمت گذاری گرچه اشتباه اما گران‌تر قیمت گذاری شده است و ناشر ورق را دچار تعهد مالی نمی کند. یکی از مهم‌ترین قضایای این بخش قضیه‌ی  Dupire است که رابطه‌ای دقیق بین ولاتیلیتی و قیمت اعلان شده‌ی اختیارات خرید و فروش موجود در بازار عرضه می کند. به بیان دقیق‌تر، در چهارچوب مدل‌های مارکفی، اگر در همه‌ی زمان‌ها انقضا (maturity) و برای همه‌ی قیمت‌های ضرب (strike price) در بازار اختیار خرید (معادلا اختیار فروش) داشته باشیم، ولاتیلیتی (مارکفی) به طور قطع قابل محاسبه است (مگر این که در بازار آربیتراژ موجود باشد). طبیعی است که اگر فقط تعداد متناهی اختیار خرید یا فروش موجود باشد، ولاتیلیتی دیگر دقیقا قابل محاسبه نیست، اما به هر حال هر چه تعداد این اختیارات در بازار بیشتر باشد، حجم مدل‌هایی که ممکن است ولاتیلیتی را توصیف کنند کمتر می ‌شود.

قضیه‌ی Dupire را می‌توان اولین تلاش در این جهت دانست که علاوه بر قیمت دارایی پایه، قیمت‌ اختیارات موجود در بازار روی دارایی پایه هم در تعیین مدل قیمت آن نقش داشته باشند. این قضیه می‌گوید اگر تعداد این اختیارات خیلی خیلی زیاد باشد، حداکثر یک مدل مارکفی باقی می‌ماند ولی آن چه که نمی گوید این است که هنوز تعداد زیادی مدل غیر مارکفی با قیمت اعلان شده اختیارات سازگار هستند و البته اگر هیچ مدلی (مارکفی یا غیر ماکفی) وجود نداشته باشد، آربیتراژ وجود دارد. اما اگر تعداد کمتری اختیار وجود داشته باشند، مدل‌های مارکفی و غیرمارکفی زیادتری هم به وجود می‌آیند که تنها وجه مشترک همه‌ی آن ها این است که قیمت دارایی پایه در همه ی این مدل‌ها مارتینگل است. با این حساب سوالات مهم این‌ها هستند:

1. مجموعه‌ی تمام این مدل‌ها چه قیمت‌هایی را تولید می‌کنند؟
2.  کمترین و بیشترین قیمتی که این مدل‌ها ایجاد می‌کنند چه قدر است؟
3. با انتخاب یک مدل مارکفی مثل بلک‌-شولز حداکثر چه قدر ممکن است اشتباه کنیم؟

جواب های  سوالات ۱ و ۳ در سوال ۲ هستند. اگر بیشترین و کمترین قیمت را پیدا کنیم، تمام عددهای موجود در بین این دو توسط مدل‌های ممکن تولید می‌شوند و بیشترین خطای قیمت‌گذاری از طول این بازه فراتر نمی‌رود.

روش رایج برای جواب دادن به سوال ۲ روش دوالیتی است که بین مساله‌ی قیمت گذاری (که یک مساله‌ی برنامه ریزی خطی نامتناهی بعد است) و مساله‌ی انتقال بهینه‌ی Monge-Kantrovich تناظر برقرار می‌کند. در حالی که مساله‌ی اولیه (برنامه‌ریزی خطی نامتناهی بعد) مساله‌ی بسیار سختی است، مساله‌ی انتقال بهینه راحت‌تر است و مقدار آن کران‌های بیشترین قیمت و کمترین قیمت را می‌دهد.

چند منبع برای مطالعه:

Beiglböck, Mathias, Pierre Henry-Labordère, and Friedrich Penkner. "Model-independent bounds for option prices—a mass transport approach." Finance and Stochastics (2013): 1-25.

Hobson, David. "The Skorokhod embedding problem and model-independent bounds for option prices." Paris-Princeton Lectures on Mathematical Finance 2010. Springer Berlin Heidelberg, 2011. 267-318.

پ.ن.: من هم به زودی در این زمینه یک مقاله آماده خواهم و در arxiv به اشتراک خواهم گذاشت.

مجله‌ی شفاهی

مجله‌ی شفاهی یک مجله‌ی تصویری است که توسط تعدادی از اساتید و دانشجویان دانشگاه صنعتی شریف که بیشتر آن‌ها از دوستان گرامی بنده هستند تشکیل شده است. این مجله که دانشجویان تحصیلات تکمیلی را هدف گرفته است، جلسات بحث و سخنرانی ضبط شده را با هدف افزایش دانش عمومیِ افراد در زمینه‌های گوناگون ریاضیات، در دسترس عموم قرار می‌دهد. 

ایده‌ی این مجله از نظر من فوق‌العاده است. راه انداختن یک مجله کاغذی انرژی و هزینه‌ی قابل توجهی نیاز دارد. با وجود این که فیلم‌برداری و ضبط و کارهای جنبی مربوط به وب‌سایت هم کار راحتی نیست، اما در مقایسه با مجله‌ی چاپی به مراتب کم هزینه تر است. به علاوه، شکل خودمانی سخنرانی‌ها و بحث‌ها هم در نوع خود جالب توجه است. نقطه‌ی منفی این نوع مجله این است که نه حرف‌ها  و نه نوشته‌های اسلایدها و تخته به اندازه‌ی نوشته‌های مقالات دقیق و واضح هستند. اما در عوض مطالبی بیشتری را با هزینه‌ی کمتر می‌توان در مجله‌ی شفاهی عرضه کرد.

به عنوان پیشنهاد ویدیو جلسه‌ی «اثبات مزاحمی سرسخت در ریاضیات» در شماره‌ی هفتم فروردین ۹۲ را نگاه کنید. این مزاحمت را من هم احساس کردم، مخصوصا در بخش آموزش ریاضی. با وجود این که بحث‌های این جلسه بسیار کلی هستند و تمام ریاضیات را شامل می‌شوند، اما شروع آن در بحث آموزش است. من هم دوست دارم پستی در این زمینه بنویسم. شاید به زودی!

پ.ن.: مدتها بود که می‌خواستم این وبلاگ رو پست‌بارون کنم اما دریغ از یک ربع وقت خالی! حالا که اومدم بنویسم یادم نمی‌اومد که قرار بود راجع به چی بنویسم. کلی فکر کردم تا یادم اومد!

من سه بار حسابان یاد گرفتم!

درست است! من سه بار حسابان یاد گرفتم:

بار اول وقتی بود که در سال‌های ۱۳۷۴-۷۵ دروس ریاضی ۱،۲ و ۳ را به عنوان دانشجوی لیسانس ریاضی دانشگاه علم صنعت گرفتم.

بار دوم وقتی بود که در دانشگاه شریف بین سال‌های ۱۳۷۹-۸۲ حل تمرین دروس ریاضی ۱ و ۲ در دانشگاه شریف بودم.

بار سوم همین الان است که درس ریاضی ۳ تدریس می‌کنم.

انگاه یادگرفتن تمام شدنی نیست!

بار اول و دوم روش‌ها و جزئیات را یاد گرفتم. بار سوم دارم یاد می‌گیرم که دانشجویان چگونه حسابان را یاد می‌گیرند.

روزمرگی‌ها

این روزها مشغول نوشتن یک پروپوزال برای گرنت هستم. یکی دو روز دیگر باید تحویل داده شود و من اصلا نمی‌دانم که چه گلی به سر بزنم که تمام شود!

یک دو ماهی است که با پکیج tikz در لاتک آشنا شدم. قدیم‌تر همه‌ی گراف‌ها را با spstrick می کشیدم. با این که pstricks خیلی قدرتمند است، اما tikz بعضی کارها را سریع‌تر انجام می‌دهد و برای من هم الان سرعت خیلی مهم است. درس ریاضی ۳ ای که تدریس می‌کنم نیاز به کلی شکل رویه و خم و ... دارد که tikz در اسرع وقت رسم می کند.

دغدغه‌ی این روزهای من هم کار حسابی کردن است. کاری که به اندازه‌ی کافی نظر اهل فن و علما را جلب کند. موضوع مهم است و البته مساله از آن مهم‌تر.

آخر این هفته قرار است بروم یک کنفرانسی که سال قبل قرار بود برگزار شود. اما طوفان سندی باعث شد برق ناحیه‌ی جرزی قطع شود و کنفرانس هم لغو.

کنفرانس ریاضی مالی علامه

اطلاعیه مربوط به این کنفرانس با نام «ریاضیات و علوم انسانی» و با محوریت ریاضی مالی به شرح زیر است:

سومین همایش ریاضیات و علوم انسانی

همکاران گرامی

اساتید محترم و دانشجویان عزیز

با سلام و احترام

به اطلاع می رساند که سومین همایش دوسالانه ریاضیات و علوم انسانی با محوریت " ریاضیات مالی" روز های چهارشنبه 30 ام بهمن و پنجشنبه اول اسفند سالجاری در دانشکده های اقتصاد و علوم ریاضی  دانشگاه علامه طباطبایی بر گزار خواهد شد .

اهداف این همایش عبارتند از :

فراهم آوردن زمینه های تبادل نظر بین فعالان بازار سرمایه و پژوهشگران  دانشگاهی در زمینه ی ریاضیات مالی و مهندسی مالی ، شناسایی زمینه های تحقیقاتی مورد نیاز بازار سرمایه از سوی اساتید و دانشجویان  و لذا هدایت تحقیقات به سوی رفع نیاز های واقعی کشور ، شناسایی مسایل آموزشی مورد نیاز بازار سرمایه و ایجاد زمینه برای تغییرات مناسب در برنامه های آموزشی ، و آشنا کردن کردن بازار های پولی و مالی با رشته های تحصیلی ریاضیات مالی و مهندسی مالی .

از کلیه علاقمندان به مباحث مربوط به ریاضیات مالی و مهندسی مالی و کاربرد های آن در بازارهای سرمایه دعوت می شود تا با ارایه ی مقاله ، برگزاری کارگاه علمی ، و راه اندازی نمایشگاه در این همایش شرکت کنند و زمینه های ارتقاء علمی و فنی مربوط به بازارهای پول و سرمایه، فراهم شود .

لازم به ذکر است که اطلاعات مربوط به همایش از جمله: کمیته های علمی و اجرایی ، چگونگی ثبت نام، نحوه­ی ارسال مقاله، هزینه­های ثبت نام، مسکن، و غیره ، در  نخستین فراخوان مقاله ظرف هفته ی اول آبان در سایت Femath.ir منتشر خواهد شد .

محمد جلوداری ممقانی

دبیر همایش

نصب کیبورد فارسی روی آی‌پد و آی‌فون

وقتی که اولین آی‌پدم را خریدم، بزرگترین مشکلم با آن نوشتن به زبان فارسی بود. یک سری زبان‌ها در لیست زبان‌های آی‌پد (آی‌فون) موجود هستند که می‌توانید کیبوردشان را نصب کنید. اما از زبان فارسی خبری نیست. نزدیک‌ترین آن‌ها به فارسی عربی است. اما فارسی نوشتن با کیبورد عربی اصلا راحت نیست. بیشتر لینک‌های موجود در اینترنت برای فارسی نوشتن فقط دو راه پیشنهاد می‌کنند و به اشتباه فکر می‌کنند که هیچ راهی غیر از این دو وجود ندارد: جیلبریک (Jailbreak) و نصب کیبورد عربی.

من هیچ کدام از این دو راه را دوست نداشتم. جیلبریک بسیاری از مزایای آی‌پد را از بین می‌برد و کیبورد عربی زندگی را مشکل می‌کند. بنابراین رفتم سراغ اپ‌های فارسی نویس. چند تا شان را نصب کردم که پولی هم بودند. اما هیچ کدام عملا پشیزی نمی‌ارزیدند. سرانجام بعد از مدت‌ها اصرار و ابرام راه ذکر شده در این لینک (Non Jailbreak Method) را پیدا کردم. طبق ادعای این لینک، کیبورد فارسی در iOS وجود دارد فقط پنهان شده است و باید با روش ذکر شده آن را فعال کرد. اتفاقا این روش کار کرد و از آن وقت تا کنون من این روش را روی دو آی‌فون و یک آی‌پد مینی پیاده کردم، همگی موفق.
از آن موقع تا الان بیش از یک سال می‌گذرد ولی هنوز وقتی در اینترنت «نصب کیبورد فارسی روی آی‌پد و آی‌فون» را جستجو می‌کنی، می‌بینی که راه حل ها به کیبورد عربی یا جیلبریک محدود هستند و باید با زرنگی چیزی مثل «Enable farsi keyboard iOS ipad» را جستجو کنی تا این لینک پیدا شود. بنابراین گفتم شاید بهتر باشد در یک پست این روش را توصیه کنم. منطق این روش طوری است که به نظر نمی‌رسد اشکالی در آن باشد. تنها اشکال آن این است که نرم‌افزار iBackupBot که در گذشته مجانی بود، الان پولی است و اجازه‌ی ذخیره‌ی تغییرات (کیبورد فارسی) را نمی‌دهد. برای حل این مشکل هم می‌توانید از نرم‌افزارهای مشابه که در این لینک معرفی شده‌اند استفاده کنید. فقط دقت کنید که این دستورات را مو به مو اجرا کنید.

پ.ن.: البته آخرین باری که این روش را امتحان کردم، با این که به خوبی کار کرد اما وقتی کیبورد را به فارسی عوض می‌کنی، روی آن به جای «فارسی»، «ارسی» حک می‌شود. البته به طور خودکار بعد از یک ثانیه محو می‌شود. شاید هنگام ادیت فایل‌های مربوط اشتباهی «ف» را پاک کردم.

ادپتور

امروز قرار بود رویه‌های درجه‌ی دو را درس بدهم. برای این که در وقت صرفه‌جویی کنم، یک عالمه گشتم و بالاخره یک جاوا اپلت خوب برای این کار پیدا کردم. اما وقتی رفتم سر کلاس، فهمیدم که یادم رفته ادپتور وی جی ای مخصوص کامپیوترم رو بیارم. البته مشکلی نبود، چون یک کامپیوتر مک داشتم و ادپتورش هم موجود بود. اما وقتی خواستم ادپتور را به کابل وی جی ای نصب کنم، دیدم که یک قطعه‌ی دیگر هم لازم است که نداشتم. بالاخره مجبور شدم همه چیز را پای تخته بکشم که اصلا هم خوب از آب درنیامد.
حالا این ادپتور از آخرین باری که استفاده شده تا همین چند وقت پیش به طرز بسیار آزاردهنده‌ای جلوی دست و پای آدم بود. اما درست همان موقع که لازمش داری، گم و گور می‌شود.