مدل‌سازی ریاضی و خطرهای آن

بنا دارم در این پست به اختصار توضیح دهم که مدل‌سازی ریاضی چیست و چگونه باید با آن برخورد کرد. تمام کسانی که با پدیده‌های طبیعی و تکنولوژیک آشنایی دارند می‌دانند که این پدیده‌ها تا چه حد پیچیده هستند؛ به عنوان مثال می‌توان به تحولات جوی یا ژنتیک اشاره کرد. گرچه بر اساس نظریات علمی می‌دانیم چگونه این پدیده‌ها رخ می‌دهند، اما برای این که بتوانیم مشابه این پدیده‌ها را ایجاد کنیم یا در مورد آینده‌ی آن‌ها پیشبینی کنیم باید ابزار محاسبه داشته باشیم. برای روشن شدن مطلب یک مثال می‌آورم. شاید همه کارشناس هواشناسی بدانند که تحت چه شرایط بارش باران یا تندباد اتفاق می‌افتد، اما برای این که بدانیم آیا این شرایط در آینده نزدیک رخ می‌دهد نیاز داریم پارامترهای زیادی از جمله دما، رطوبت، سرعت باد، ... را در نقاط زیادی پیشبینی کنیم. یا مثلا برای این که بدانیم یک بیماری ویروسی را چگونه می‌توان متوقف کرد نیاز داریم کد دی ان ای آن ویروس را استخراج کرده، تغییرات آتی آن را پیشبینی کنیم. 

در این نوع پدیده‌های پیچیده، تحولات به عوامل بسیار زیادی بستگی دارند که خود این عوامل با هم مرتبط هستند. یک کار بنیادی این است که چگونگی ربط این عوامل را به تمامی کشف کنیم. اما در عمل این کار بسیار سخت است و معمولا فقط می‌توان بخشی از بستگی عوامل به هم را درک کرد. بنابراین دانشمندان معمولا بر اساس اطلاعات موجود مدل ایجاد می‌کنند. مدل یک نوع فرض ساده کمی است که چگونه این عوامل مرتبط بر هم اثر می‌گذارند. کمی بودن آن به ما این امکان را می‌دهد که مثلا بدانیم که با افزایش دو درجه دما در یک نقطه رطوبت آن چه قدر افزایش پیدا می‌کند. علاوه بر آن، مدل از میان تمام عوامل فراوان  تاثیرگذار، آن‌هایی را که مهم‌تر به نظر می‌رسند جدا می‌کند و از بقیه صرف نظر. مثلا اگر سرعت باد در تهران در یک ساعت آینده به سرعت باد و دما و رطوبت در تمام نقاط استان های مرکزی و قم وقزوین و البرز بستگی دارد، مدل سعی می‌کند که چند نقطه‌ی مهم از این استان‌ها را انتخاب کند و فقط از اندازه‌گیری‌های این نقاط برای پیشبینی سرعت باد در تهران استفاده کند.

مزیت اصلی استفاده از مدل این است که می‌توان محاسباتی را (معمولا با هدف پیشبینی) انجام داد. در یک پدیده‌ی پیچیده، از آن جا که عوامل فراوان هستند، حتی اگر ربط کمی میان آن‌ها را بدانیم، کامپیوترهای ما قدرت انجام محاسبات حول تمام این عوامل را ندارند (حداقل در زمان مقتضی). با کم کردن عوامل دخیل، مدل به ما امکان محاسبات سریع‌تر می‌دهد.

«همه‌ی مدل‌های غلط هستند اما برخی مفید.» این جمله منسوب است به یک آماردان به نام جورج کاکس. منظور از این جمله این است که عملا همه‌ی مدل‌ها با صرف نظر کردن از برخی عوامل با پدیده‌ی مورد بحث تفاوت‌های جدی دارند. اما در جاهایی که می‌توانند درست پیشبینی کنند، مفید واقع می‌شوند؛ مثل مدلی که بتواند در ۸۵٪ موارد شرایط جوی هفته‌ی آینده را درست پیشبینی کند. اما استفاده از مدل خطراتی هم دارد. بیشتر این خطرها وقتی رخ می‌دهد که برای مدت طولانی از مدل استفاده می‌کنیم و فراموش می‌کنیم که مدل واقعیت نیست. در این صورت وقتی که شرایط تغییر می‌کند، مدل ما جواب غلط می‌دهد.

گرچه مدل‌ها به مراتب ساده‌تر از پدیده‌ی مورد بحث هستند، اما از نقطه نظر ریاضی ممکن است هنوز پیچیده باشند. پیچیدگی مدل‌های ریاضی ممکن است کاربردشان را سخت کند. برای همین است که میل زیادی به استفاده از مدل‌های ساده وجود دارد. به عبارت دیگر، سعی می‌شود تا حد ممکن مدل ساده باشد. حتی در صورتی که درست نتیجه نداد، با کمترین و ساده‌ترین تغییر آن را اصلاح کرد. به عنوان نمونه مدل بلک-شولز در قیمت گذاری مشتقات مالی حدود چهل سال است که در بازار استفاده می‌شود در حالی که در تحقیقات نظری مدل‌های بسیار پیچیده‌تری مطالعه شده اند. دلیل دیگر برای ساده نگه داشتن مدل این است که اگر یک مدل پیچیده جواب ندهد، اصلاح آن هم به همان پیچیدگی است. در حالی که اصلاح مدل ساده (اگر اصلا امکان پذیر باشد) هم به همان سادگی مدل است.

این پست را با یک مثال از خطای مدل‌سازی می‌بندم. در بحران مالی ۲۰۰۷، قراردادهای مشتق روی وام‌های مسکن به شکل موضعی قیمت‌گذاری شده بودند. دولت ایالات متحده برای خانه‌دار کردن مردم، مشوق‌هایی به بانک‌ها داده بود تا به افراد کم‌درامد وام‌ مسکن بدهند. بنابراین، ریسک این وام‌ها زیاد بود اما این ریسک در مدل‌ها کم در نظر گرفته شده بود.  علاوه بر آن، مدل‌های استفاده شده خطر درمانگی مالی هر وام‌گیرنده را جدا در نظر گرفته بودند. در حالی که، این نوع ریسک قابلیت بخش شدن در کل شبکه‌ی مالی را داشت. گر چه در طول سال‌های پیش از ۲۰۰۷ هیچ کدام از این عوامل به عنوان عوامل تعیین کننده در نظر گرفته نشده بودند، اما بحران مالی نشان داد مهم بودند.

به طور خلاصه، ما مجبور هستیم از مدل‌های ریاضی استفاده کنیم. اما باید در کنار استفاده‌ از مدل‌ها از هوش خود هم استفاده کنیم تا جنبه‌های منفی مدل‌ها دامنگیرمان نشود.