قیمت گذاری قراردادهای بیمه یا اوراق مشتقه مالی و به طور کلی قراردادهایی که برای مقابله با ریسک در بازارهای مالی عرضه می شوند، نقطه ی شروع ریاضیات مالی است. استفاده از مدل های ریاضی و ماشینری ریاضی، در قیمت گذاری تا حد زیادی توسعه یافته است. مدل بلک-شولز ریشه ی درختی از تحقیقات بود که شاخه های آن اکنون بسیار گسترده هستند و در حیاط آمار و آنالیز تصادفی و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی سرک کشیده اند. با این وجود هنوز هم نتایج حاصله چندان رضایت بخش نیست. شاید هیچ گاه نتوان با استفاده از ریاضیات به تنهایی کار کاملی در فایننس انجام داد. اما تقریبا همگان به این نکته اذعان دارند که نقشی که ریاضیات در این عرصه بازی می کند، حیاتی است.
به زبان ساده تر می توان گفت که این قیمت گذاری این قراردادها، قیمت گذاری ریسک متناظر با آن هاست. به زبان ساده، «خوب است در ازای تحمل ریسک شخصی دیگر، چه قدر بگیرم؟». اکنون کار موسسات مالی در سراسر دنیا، پرسیدن این سوال است. در نظریه، همه چیز خوب است. نظریه می گوید مثلا ریسک سرمایه گذاری روی یک ورق قرضه خاص با اصل سرمایه ی ۱۰۰۰ دلار برابر ۱۰ دلار است. یعنی اگر این مبلغ را به من بدهی و روی این ورق قرضه سرمایه گذاری کنی، من خسارت احتمالی این سرمایه گذاری (درماندگی منتشر کننده ی ورق قرضه) را جبران می کنم تا تو با خیال راحت تری روی این ورق سرمایه گذاری کنی. باز هم نظریه می گوید که من با گرفتن این ۱۰ دلار، توانایی دارم که به حیلتی ریسکی را که متقبل می شوم، از خودم دفع کنم. کاری که سرمایه گذار در ورق قرضه، توان آن را ندارد.
اما در عمل کار به این سادگی نیست. ابزاری که نظریه به مقدار زیاد وجود آن را فرض می کند، در عمل وجود ندارد. بنابراین، ۱۰ دلار برای دفع ریسکی مثال پاراگراف قبل کافی نیست. به عبارت دیگر، اصطکاک های بازار باعث می شود که من نتوانم استراتژی ریسک زدایی (hedging) را به آن خوبی که نظریه پیشنهاد می کند اعمال کنم. به عنوان مثال نظریه به من می گوید که هر روز چیزهایی بخرم و بفروشم؛ اما هزینه ی معاملاتی این خرید و فروش را به حساب نمی آورد. طبیعی است که این من هستم که باید هزینه ی معاملاتی را به آن ۱۰ دلار اضافه کنم.
اکنون دیگر معیارهای قیمت گذاری کمی با نظریات ساده ی اولی تفاوت دارد. مثلا دیگر به این فکر نمی کنیم که قیمت میانگین تنزیل شده ی ریسک تحت اندازه ی مارتینگل است. بلکه می گوییم قیمت کمترین مقداری است که بتوانیم با استفاده از استراتژی های عملی از پس ریسک زدایی بر بیاییم. بنابراین، مدل کردن محدودیت های بازار، یکی از اساسی ترین بخش های فعلی در ریاضیات مالی است. مدل کردن هزینه های معاملاتی، هزینه های نقدشوندگی، super-hedging، quantile hedging، مدل های ساختاری و مخلوط برای ریسک اعتباری، و به طور کلی انواع و اقسام روش های ریسک زدایی که مستقل از اندازه ی مارتینگلی هستند، از شاخه های مورد نیاز ریاضیات مالی هستند.
