اندر مقولات توصیه نامج

این کسانی که توصیه نامج می نگارید، لطفا فقط دو خط کوتاه اندر کمالات علمی دانشجو مرقوم نفرمایید. کمی بیشتر بنویسید. مثلا کمی هم در مورد شخصیت دانشجو و رفتار اجتماعی او بنویسید. بد نیست که اگر خاطره‌ای هم از او در کلاستان دارید مرقوم کنید.

چند توصیه در مورد طراحی امتحان

میانگین نمرات امتحان میان‌ترم کلاس فرایند تصادفی نسبتا کم بود. اما پایان‌ترم با این که به نظر امتحان سخت‌تری بود، نتیجه‌ی بهتری داشت. چهار تفاوتی که این دو امتحان با هم داشتند عبارت بودند از:

۱- به شکل روشن دانشجویان می‌دانستند که چه مطالبی را بخوانند و با چه عمقی.

۲- سوالات امتحان به دقت چک شده بود و جواب آن‌ها از قبل آماده و توزیع نمرات در هر سوال کاملا مشخص بود.

۳- سوالات از ساده‌ترین سوال شروع شده بود.

۴- وقت امتحان کافی بود (میان‌ترم به دلیل مشکل کلاس بعدی، وقت محدودی داشت.)

به نظر من در نظر گرفتن این نکات مخصوصا نکته‌ی ۱ و ۲ باعث می‌شود امتحان بهتری طراحی شود تا دانشجویانی که آمادگی لازم را برای امتحان کسب کرده‌اند، بتوانند نمره‌ای که استحقاق آن را دارند، بگیرند.

بدرود زمستان!

امروز ۱۸ آوریل، زمستان آخرین تلاشش را برای ماندن کرد و زمین را سفید کرد. هر سال زمستان همین اشتباه را می‌کند. آوریل را سفیدپوش می‌کند تا بلکه بماند. تنها این ینگه دنیا نیست که زمستان این طور رفتار می‌کند. دو سال پیش که زنجان بودم، زمستان در آوریل (۲۶ فروردین) آن قدر زور زد که تمام گاوازنگ و علوم‌پایه سفید شد. اما به شب نکشید که همه برف‌ها آب شد. اگر من جای زمستان بودم، در جای خودم می‌باریدم. 

این گوشه‌ی دنیا، برف که زود آب می‌شود، یعنی زمستان تمام شده است. زمستان هم مثل خیلی‌ها که دوره‌شان به پایان رسیده، زور می‌زنند که بمانند. شاید به خاطر همین است که مردم معمولا بهار و تابستان و حتی پاییز را خیلی دوست دارند ولی از زمستان متنفرند.

جادوگری با احتمال

چند هفته قبل، سمیناری در دانشکده‌ی شیمی برگزار شد با عنوان «زمان، انیشتن و جالب‌ترین چیزهای عالم هستی» (Time, Einstein and the coolest stuff  in the universe). خلاصه‌ی سمینار این بود که برای این که زمان را دقیق‌تر اندازه بگیریم، باید دماهای پایین‌تر ایجاد کنیم و .... سخنران برای این که به حضار شهودی از دماهای پایین بدهد، چند کوزه پر از نیتروژن مایع را در بین صندلی‌های آمفی‌تئاتر روی زمین می‌ریخت و یا با آن کارهای عجیب و خنده‌دار دیگر می‌کرد. آن موقع بود که به این نتیجه رسیدم که به طور متوسط چه‌قدر سخنرانی‌های عمومی ریاضی خسته‌کننده‌تر از سخنرانی‌های عمومی شیمی است. همان روز بود که از حسودی تصمیم گرفتم کمی کلاس‌های درس خودم را رنگ بزنم. فردای آن روز با چند تا برنامه‌ی MatLab سر کلاس رفتم و کلی هم تصویر و انیمیشن به بچه‌ها نشان دادم. البته آن تصاویر آن روز درد زیادی را دوا نکرد، اما چند جلسه‌ی بعد واقعا به دردم خورد.

امروز سر کلاس یک شعبده‌بازی انجام دادم که در حد نیتروژن مایع بود. شعبده‌بازی امروز چیزی به اسم «بازی جفت‌سازی» (Coupling game) بود. کسانی که درس زنجیر مارکف را با مهرداد شهشهانی در دانشگاه شریف گذرانده باشند، احتمالا این بازی را بلد هستند.

برای یادگرفتن این بازی، نه احتمال لازم است بدانید و نه حتی ریاضی. یک تاس و حداقل ده نفر بازیکن کافی است. شیوه‌ی بازی این است که هر نفر باید یک عددی بین ۱ تا ۶ را در ذهن خود تصور کند. یک نفر بازی گردان تاس را پشت سر هم پرتاب می‌کند و بازیکنان عدد ذهنی خود را بر اساس قانون زیر عوض می‌کنند. 

قانون: «اگر مثلا عدد ۳ را در ابتدا تصور کرده اید، سه پرتاب صبر کنید و عدد سومین پرتاب را با ۳ جایگزین کنید. سپس، بازی را به همین شکل ادامه دهید. مثلا اگردر سومین پرتاب عدد ۶ بیاید. اکنون عدد ۶ را در ذهن خود نگه‌دارید و تا ششمین پرتاب صبر کنید و عدد ششمین پرتاب را با عدد ۶ جایگزین کنید.»

بعد از  مثلا ۲۰ پرتاب، از همه بازیکنان بپرسید که چه عددی در ذهنشان است. به طرز عجیبی تقریبا همه یک عدد را اعلام می‌کنند.

امروز من به جای تاس از یک برنامه‌ی کامپیوتری استفاده کردم. این بازی این قدر برای دانشجویان عجیب بود که از من خواستند که متن برنامه‌ای که کار تاس را می‌کرد نشان‌شان بدهم تا مطمئن شوند که کلکی در کار نیست.

اسکروخود (Skorokhod)

اسکوروخود ریاضیدان معروف اوکراینی در سوم ژانویه‌ی ۲۰۱۱ در شهر لانزینگ ایالت میشیگان آمریکا و در حالی که ۸۰ سال داشت فوت کرد. اسکروخود که یکی از بزرگ‌ترین احتمال دانان معاصر است، دانشجوی دینکین (Dynkin) بوده که خود نزد کلموگوروف (Kolmogorov) دکترای خود را به اتمام رسانده است. با باز شدن یخ روابط آمریکا و روسیه، اسکروخود همانند بسیاری از همکاران روس خود به آمریکا مهاجرت کرد و از سال ۱۹۹۳ در دانشگاه ایالتی میشیگان در شهر لانزینگ مشغول به کار شد.

دیروز من به لانزینگ رفتم که ۷۰ مایلی با آن آربر (محل سکونت من) فاصله دارد.  سری هم به دانشکده‌ی آمار زدم. هنوز پلاک نامش روی در اتاق کارش بود. امروز هم در کلاس فرایندها تصادفی، فرایندهای پخش رو تدریس کردم که بخش زیادی از ادبیات آن به وسیله‌ی اسکروخود ایجاد شده است. نقش اسکروخود در اثبات قانون قوی اعداد بزرگ هم بسیار پررنگ است. در طول عمر پربار علمی خود، اسکروخود کارهای فراوانی در احتمال و آنالیز تصادفی کرده است. یادم است که مثلا بیش از یک مساله‌ی اسکروخود در احتمال وجود دارد.

پیش خودم فکر می‌کردم که کاش اسکروخود نمی‌مرد و دیروز فرصت دیدنش را پیدا می‌کردم. دیدن این آدم‌ها بزرگ بسیار الهام بخش است و به آدم نیروی تازه برای کار می‌دهد.

امان از تهی!

امروز سر کلاس نظریه‌ی احتمال، زنجیر مارکف درس می‌دادم. تقریبا یک ربع ساعت به پایان کلاس مانده بود که یک تعریف ارائه دادم و پشت بند آن یک مثال و از بچه‌ها خواستم که مواردی در این مثال که شامل این تعریف می‌شوند را مشخص کنند. کلاس بعد از ظهر باشد، ریاضی هم باشد، آخر کلاس هم نزدیک باشد، مدرس هم لهجه‌ی فارسی داشته باشد، دیگر کسی حوصله‌ی گوش دادن به درس را ندارد، چه برسد به جواب دادن.

خوب! بهترین کار در این شرایط این است که درس را زود بدهی تا همه بروند سر کارشان.

یاااااااااااااااااااااااااااااااااااااااا

به بچه‌ها بگویی که اگر یک مورد بگویند، کلاس پنج دقیقه زودتر تعطیل می‌شود.

خوب من هم همین کار را کردم. اول خودم دو مورد را آوردم و سپس گفتم که اگر یک مورد دیگر هم بچه‌ها بگویند پنج دقیقه زودتر تعطیل می‌شوند. کلکم کار کرد و موتور کلاس روشن شد. جواب اول رسید.

البته بعد کمی زیاده روی کردم و گفتم که اگر یکی دیگر هم بگویند، ده دقیقه زودتر تعطیل می‌شوند. آن هم گفتند. دیگر طبق محاسبات من در آن مثال، موردی نباید  می‌ماند. به همین دلیل گفتم که اگر یک مورد دیگر هم بگویند، همین الان تعطیل می‌شوند.

امان از تهی! تهی را حساب نکرده بودم. یکی از دانشجویان گفت تهی. کمی مکث کردم و گفتم: We're done for today.

ریسک و بازده

مدت‌ها بود که پستی در مورد ریاضیات مالی ننوشته بودم. امروز تصمیم گرفتم این کار را با بحثی مقدماتی در ریسک و بازده، انجام دهم.

در باور عمومی، ریسک حالتی است که اشاره به احتمال وقوع رخدادی نامطلوب دارد. در بازار مالی، ریسک به احتمال از دست دادن سرمایه دلالت دارد. بازده هم قرار است میزان سودهی یک سرمایه گذاری را نشان دهد. به دلیل اهمیت ریسک و  بازده در سرمایه‌گذاری، بشر مجبور شد این دو را کمّی کند.  

در این میان، کمّی کردن بازده، کار ساده تری از آب در آمد. تقریبا همه توافق دارند که بازده‌ی یک سرمایه‌گذاری سود آن است تقسیم بر کل مبلغ سرمایه‌گذاری شده یا چیزی در همان اطراف. طبیعی است که همه به دنبال سرمایه‌گذاری‌هایی باشند که بیشترین بازده را دارند. اما آیا سرمایه‌گذاری‌های پربازده لزوما امن هستند؟ طبیعی است که نه. مثلا  سهامی را در نظر بگیرید که قیمت آن به سرعت، رشد می‌کند ولی احتمال این که به همان سرعت هم افت کند وجود دارد. سرمایه‌گذاری در این سهام، دو رو دارد: یا سود فراوان می کنیم و خوش به حالمان، یا ضرر می‌کنیم و تقریبا اصل سرمایه‌ی خود را از دست می‌دهیم. بنابراین اگر به دنبال یک سود پایدار هستیم، هرگز نباید سراغ آن نوع سرمایه‌گذاری برویم.

برای کمّی کردن مفهوم ریسک، روش‌های زیادی به کار رفته است. مثلا واریانس بازده که اولین شاخص اندازه گیری ریسک است. البته واریانس بازده یک اشکال اساسی دارد:  واریانس، نوسانات ارزش سبد سرمایه‌ را در دو جهت سود و زیان به یک میزان، دخالت می‌دهد، حال آن که ریسک سرمایه‌گذاری به آن بخشی از نوسانات اشاره می‌کند که در جهت ضرر هستند. بنابراین واریانس یک طرفه (واریانس منفی) که تنها نوسانات منفی را دخالت می‌دهد معرفی شد که کار با آن به آسانی واریانس معمولی نیست.

واریانس و واریانس منفی هر دو اشکلات اساسی دارند و برای همین تقریبا به درد استفاده ‌های عملی نمی‌خورند. مثلا در بسیاری از مدل‌ها، واریانس نوسانات، بی‌نهایت بزرگ است. وقتی واریانس، بی نهایت بزرگ می‌شود یعنی سرمایه‌گذاری، بسیار پرخطر است! در حالی که در باور عمومی این سرمایه‌گذاری‌هااین قدر هم ریسک‌آلود نیستند. به همین علت به تدریج، روش‌های دیگری معرفی شدند ریسک سرمایه‌گذاری را بی نهایت بزرگ نشان ندهند و افرادی به بررسی خواص این اندازه‌های جدیدی ریسک پرداختند. هنوز هم مبانی نظری اندازه‌گیری ریسک جای بحث دارد.

رایج ترین شاخص اندازه‌گیری  ریسک، ارزش در خطر است. ارزش در خطر عبارت است از مقدار پولی که ممکن است در صورت وقوع یک اتفاق ناگوار نادر از دست بدهیم. مثلا فرض کنید ده میلیون تومان در سهام مخابرات، سرمایه‌گذاری کرده ایم که احتمال افت قیمت آن بسیار کم است. اما اگر همین اتفاق بد افت قیمت رخ دهد، ممکن است حداقل هفت میلیون از آن را از دست بدهیم. در حالی که همین اتفاق نادر برای سهام دیگری ممکن است منجر به از دست دادن حداقل ۳ میلیون از سرمایه شود. در این صورت ارزش در خطر سهام مخابرات از آن سهام دیگر بیشتر است و بنابراین ریسک آن بیشتر. به استفاده از کلمه‌ی «حداقل»، دقت کنید. در این جا نمی‌توانیم کرانی برای کل ضرر، غیر از کل سرمایه قرار دهیم. اما برای حداقل ضرر می‌توانیم.

در باور اهل علوم مالی با افزایش بازده سرمایه‌گذاری، ریسک آن هم باید افزایش پیدا کند. این باور مبنای نظریه‌ی کلاسیک سرمایه‌گذاری بهینه‌ی مارکویتز و نظریات مدرن‌تر پسامارکویتزی است. به بیانی ساده اندیشانه اگر سهام ۱، هم ریسک بیشتری از سهام ۲ داشته باشد و هم بازده‌ی کمتری، کسی سهام ۱ را نمی‌خرد و عملا سهام ۱ از گردونه‌ی سرمایه‌گذاری خارج می‌شود.

اما اگر ظرافت بیشتری در درک این باور به خرج دهیم، می‌بینیم که استدلال بالا چندان هم درست نیست. زیرا گاهی سهام کم بازده و پرریسک، به عنوان سوپاپ اطمینان در سبد‌ سرمایه‌گذاری، ایفای نقش می‌کند؛ به طوری که وقتی سهام پربازده‌تر و کم ریسک‌تر، دچار افت قیمت می شود، برخی از این سهام کم بازده و پر ریسک، افزایش قیمت را تجربه می‌‌کنند و ریسک کل سبد را کاهش می‌دهند. بنابراین، آن چه مهم است این است که سبدی متشکل از سهام مختلف، بیشترین بازده و کمترین ریسک را داشته باشد نه یک سهام به تنهایی.

با این حساب، هدف اصلی یافتن سبدی از سهام است که ریسک آن حداقل و بازده‌ آن حداکثر باشد که هدف غائی نظریه‌ی سرمایه‌گذاری است.