تبریک سال نو

سال نو بر همه‌ی خوانندگان محترم این وبلاگ مبارک باد.

مدمج‌ها چگونه در ریاضیات مالی ظاهر می‌شوند؟

استفاده از ابزار معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی؛ یا به اختصار همان مَدمَج خودمان!؛ مختص ریاضیات مالی نیست. مدمج یک ابزار ریاضی است که فراوان در علوم مهندسی، اقتصاد، زیست‌شناسی، محیط‌شناسی و غیره به کار گرفته می‌شود. [مدمج را جدی نگیرید. اجبار به تکرار عبارت  معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی در این نوشتار، کار را سخت می‌کرد. بنابراین، برای راحتی خودم، در این نوشتار از مختصرشده‌ی آن «مدمج» استفاده می‌کنم]. دلیل آن این است که مدل‌های ریاضی برای پدیده‌های مورد مطالعه، بر اساس تغییرات فی‌مابین کمیت‌های موثر در آن‌ها و روابط بین این تغییرات استوار است و طبیعتا چون تغییرات در ریاضیات همان مشتق است، بنابراین، ناگزیر مدمج‌ها ظاهر می‌شوند. در مدمج‌ها، تغییرات برخی از کمیت‌های مجهول نسبت به کمیت‌های معلوم به صورت  مشتق‌های جزئی ظاهر شده‌اند. هدف اصلی حل این مدمج‌ها و در نتیجه یافتن کمیت‌های مجهول بر حسب کمیت‌های معلوم است و به عبارت درست‌تر پیشبینی این کمیت‌ها است.

با این مقدمه کوتاه، تا حدی روشن است که قرار است چه کاری انجام شود. در ادامه، مطلب را با ارائه‌ی چند مثال پیش می‌بریم. مثال اول، همان مثال معروف ارزیابی اختیار خرید است. اختیار خرید؛ همان‌طور که بارها در این وبلاگ به آن اشاره شده است؛ یک ابزار پوشش ریسک بازار است. ناشر اختیار خرید به دارنده‌ی آن این اختیار را می‌دهد که دارایی مشخصی را در زمان مشخصی در آینده، به قیمت درج شده در اختیار، خریداری کند. [برای کسب اطلاعات بیشتر در این زمینه این‌جا را بخوانید]. به آن دارایی، دارایی زمینه (underlying asset) و به قیمت درج شده، قیمت ضرب (strike price) می‌گویند. قیمت یک اختیار خرید، تابعی است از قیمت دارایی زمینه‌ی آن و زمان باقی‌مانده تا اجرای آن. بنابراین، برای پیدا کردن قیمت آن، باید این تابع را پیدا کرد. در نظریه‌ی عدم آربیتراژ، مدل‌های پخش (diffusion) برای قیمت دارایی زمینه، منجر به یک مدمج برای قیمت اختیار خرید می‌شود؛ به بیان، ساده‌تر معادله‌ای بر حسب مشتق قیمت اختیار بر حسب قیمت دارایی پایه و مشتق قیمت اختیار بر حسب زمان باقی‌مانده تا اجرا. یک حالت خاص آن وقتی است که مدل قیمت دارایی زمینه، مدل بلک-شولز است که منجر به مدمج بلک-شولز می‌شود و فرمول بلک-شولز جواب این مدمج است. برای دریافت جزئیات بیشتر می‌توانید به مراجع مراجعه کنید.
حداقل در مورد مثال اول، روش‌های پیوسته بر پایه‌ی مدمج‌ها، جواب‌های بهتری نسبت به روش‌های گسسته نظیر مدل دوجمله‌ای می‌دهند. به طور کلی، در ریاضیات مدل‌های پیوسته، فضای بیشتری برای مانور در اختیار می‌گذارند تا مدل‌های گسسته.
مثال دیگری که در این پست می‌آوریم، بهینه‌سازی مصرف در سرمایه‌گذاری است. فرض کنید که مقداری سرمایه در اختیار داریم و می‌خواهیم آن را در کالا‌های ریسکی و حساب بانکی بدون ریسک سرمایه‌گذاری کنیم. به علاوه، قرار است از حساب بانکی، برای مصارف روزمره برداشت کنیم. فرض کنید میزان رضایت ما از مصرف تابعی از مبلغ مصرفی است. هدف این است که مجموع رضایت از مصرف در طول زمان بیشترین مقدار ممکن شود. در این میان آن چه مجهول است همین بیشترین میزان رضایت است. کمیت‌های دیگر، مقدار سرمایه‌ی اولیه، و قیمت دارایی‌های ریسکی است که قرار است روی آن سرمایه‌گذاری کنیم. بهترین استراتژی سرمایه‌گذاری و بیشترین مقدار ممکن مصرف از حساب بانکی از طریق بیشترین میزان رضایت قابل محاسبه  است. بیشترین میزان رضایت جواب یک مدمج است که به آن مدمج مصرف در سرمایه‌گذاری مرتون می‌گویند. در این مدمج، مشتق میزان رضایت از مصرف نسبت به حجم سرمایه‌گذاری و قیمت کالاهای ریسکی ظاهر شده است.
به طور کلی، هر جا که یک مساله بهینه‌سازی در یک مدل پیوسته داریم، می‌توانیم آن را با ارائه‌ی یک مدمج حل کنیم. برای حل مدمج‌ها روش‌های عددی بسیار گسترده هستند. به مدمج‌هایی که از مسائل بهینه‌سازی استخراج می‌شوند، معادلات هامیلتون-ژاکوبی-بلمن (Hamilton-Jacobi-Bellman) یا به اختصار اچ-جی-بی می‌گویند. این نوع مدمج‌ها در بسیاری از مدل‌های مالی از جمله مدل‌های نقدشوندگی و هزینه‌های معاملاتی ظاهر می‌شوند. مراجع معرفی شده در زیر این پست، برای درک بهتر استفاده از مدمج‌ها در مالی راه‌گشا هستند.

مراجع:

- Options, futures and other derivatives, J Hull - 2009 - Pearson Prentice Hall

- Arbitrage Theory in Continuous Time, Tomas Björk - 2004 - Oxford University Press

- Stochastic differential equations: an introduction with applications, Bernt Karsten Øksendal, Springer
- Merton, Robert C. (1973). "Theory of Rational Option Pricing". Bell Journal of Economics and Management Science (The RAND Corporation) 4 (1): 141–183.
- Merton, Robert C., Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model, J. Econom. Theory 3 (1971), no. 4, 373–413. 
- Fleming, Wendell H.; Soner, H. Mete, Controlled Markov processes and viscosity solutions, Second edition. Stochastic Modelling and Applied Probability, 25. Springer, New York, 2006. xviii+429 pp.

آشنایی با قراردادهای مشتقه مالی (مقدمه)

در ریاضیات و مهندسی مالی، دو نوع عمده‌ی ریسک مورد مطالعه قرار می‌گیرد: ریسک بازار و ریسک اعتباری. ریسک بازار عبارت است از ریسک ناشی از معامله‌ی اوراق بهادار و کالا‌های فیزیکی در بازارهای مالی و ریسک اعتباری عبارت است از ریسک ناشی از درماندگی مالی یکی از طرفین قرارداد به ضرر طرف دیگر قرارداد. کاهش ارزش سبد سرمایه‌گذاری در اثر افت قیمت سهام در بازار مالی مثالی از ریسک بازار است در حالی که اگر کاهش ارزش سبد در اثر ورشکستگیِ برخی از شرکت‌هایی باشد که سهام آن‌ها در سبد قرار دارد، این ریسک در زمره‌ی ریسک اعتباری قرار می‌گیرد.

همه‌ی فعالان بازار به دنبال راه‌های پوشش دادن انواع ریسک‌های موجود هستند تا به نحوی هزینه‌ها خود را کاهش دهند. یکی از راه‌های پوشش این ریسک‌ها، استفاده از ابزار مشتقه مالی (financial derivatives) است. ناشران این قراردادها معمولا موسسات مالی هستند که با عرضه‌ی آن‌ها در بازارهای مشتقه، برای این قراردادها خریدار پیدا می‌کنند. فلسفه‌ی وجودی موسسات مالی فراهم آوردن خدمات مالی از جمله مدریت ریسک برای سایرین است. تفاوت موسسات مالی و سایرین در بازارهای مالی این است که  سایرین مشغولیات خود را دارند و بنابراین به کار مدیریت ریسک نمی‌رسند. درحالی که، موسسات مالی می‌توانند ریسک‌های مشابه را، خرد خرد از همه جای بازار یک جا جمع کنند و با یک روش مدریت ریسک، همه را خنثی کنند، در حالی که موسسات غیرمالی کوچک و حتی بزرگ نه دانشاین کار را دارند و نه توان آن را.

 ابزار مشتقه‌ مالی نوعی قرارداد بین ناشر این ابزار و دارنده (خریدار) آن است که به موجب آن ناشر ریسک مشخصی را که دارنده با آن مواجه است، تقبل می‌کند یا به بیان دیگر به خود منتقل می‌کند. مثلا، مالکان سهام یک شرکت که نگران ورشکستگی آن شرکت هستند، می‌توانند با یک ناشر وارد قراردادی شوند که در صورت ورشکستگی آن شرکت، بخشی از ارزشِ قبل از ورشکستگی سهام را در صورت رخداد ورشکستگی، تضمین می‌کند. به این قرارداد، تاخت نکول اعتباری (credit default swap) می‌گویند. مثال دیگر می‌تواند قراردادی باشد که به موجب آن، دارنده‌ که مصرف کننده‌ی نفت خام است، نفت خام را در شش ماه آینده به قیمت مشخص قید شده در قرارداد از ناشر می‌خرد، صرف نظر از این که قیمت بازاری نفت خام در شش ماه آینده چقدر باشد. به این قرارداد، بسته به برخی جزئیات معاملاتی آن، گاهی آتی (futures) و گاهی پیش‌معامله (forward) می‌گویند. به انواع قراردادهای مشتقه مالی در  پست‌های دیگر خواهیم پرداخت.

 خریداران این قراردادها سه دسته هستند. سوداگرانی (speculator) که تنها قصد دلالی دارند و بین سهام یا قرارداد مشتقه یا کالا فرقی نمی‌گذارند. به عبارت دیگر، به این امید که شانس یاری کند و سود ببرند، از این دست می‌خرند به دستی دیگر می‌فروشند. سودبرها (arbitrageur) که دنبال موقعیت‌های کسب سود هستند تقریبا همان کار سوداگران را می‌کنند با این تفاوت که تا به سود آن مطمئن نباشند، دست به معامله نمی‌زنند. دسته‌ی سوم که فلسفه‌ی وجود قراردادهای مشتقه هستند، ریسک‌زداها هستند. این‌ها می‌خواهند با تملک این قرادادها، ریسک‌ها خود را پوشش دهند. با این که پوشش ریسک علت وجود قراردادهای مشتقه است، در میان مشتریان، دسته‌ی سوم در اقلیت قرار دارند که البته چندان هم جای تعجبی ندارد.

 ریسک را در بازار می‌توان از جایی به جای دیگر منتقل کرد همانطور که بارالکتریکی در اثر اختلاف پتانسیل از جایی به جای دیگر منتقل می‌شود. قرارداد مشتقه به مثابه‌ی اختلاف پتانسیل در فیزیک است. قرارداد مشتقه ریسک را از دارنده به ناشر منتقل می‌کند. هر تعداد که ناشر قرارداد مشتقه منتشر کند، اختلاف پتانسیل بیشتر می‌شود وریسک بیشتری از بازار به او منتقل می‌شود. در این صورت ناشر، ریسک‌های دارندگان آن‌ها را به جان خریده است. بنابراین، ناشر می‌ماند و انبوهی از ریسک. مساله‌ی اصلی این است که ناشر چگونه می‌تواند از پس پوشش این همه ریسک برآید.

سوال مطرح شده در بالا، منجر به ایجاد روش‌های مدیریت ریسک بازار شده است. روش‌های مهندسی و ریاضی مالی از جمله‌ی این روش‌ها هستند. این سوال را می‌توان به دو بخش اصلی تقسیم کرد: بخش اول این است که قیمت مناسب برای قرارداد مشتقه مالی چه قدر است. دیگر این که ناشر با دریافت قیمت قرارداد در ازای فروش آن، چگونه می‌تواند ریسک را خنثی کند. پاسخ به این دو سوال بخش قابل توجهی از ریاضیات و مهندسی مالی و نه تمام آن را در بر می‌گیرد. سوال اول زیر عنوان ارزیابی قراردادهای مشتقه (evaluation of derivatives) قرار می‌گیرد و دومی زیر عنوان ریسک‌زدایی (hedging).

این پست را با ذکر تفاوت اساسی بین پوشش ریسک‌های بیمه‌ای و ریسک بازار تمام می‌کنم. در بیمه ریسک‌ها معمولا مستقل هستند. مثلا ریسک آتش‌سوزی در متعلقات بیمه‌شوندگان مختلف، از یکدیگرتقریبا مستقل هستند. به بیان دقیق‌تر، ریسک آتش‌سوزی خانه‌ی یک بیمه‌شونده در شیراز و ریسک آتش‌سوزی انباری در مشهد،تا حدود زیادی از هم مستقل هستند. بنابراین، سبد ریسک آتش‌سوزی شرکت بیمه، سبدی متشکل از تعداد زیادی ریسکِ تقریبا مستقل است و شرکت بیمه با تکنیک‌های ساده‌ی احتمال مانند قانون اعداد بزرگ و یا قانون انحرافات بزرگ، این ریسک را ارزیابی و خنثی می‌کند. اما در بازار تمام کسانی که یک قرارداد مشتقه‌ را دارند، در معرض یک ریسک یکسان قرار دارند. در نتیجه، یک ریسک واحد از تمام دارندگان قرارداد مشتقه به ناشر آن قرارداد منتقل می‌شود و سبد ریسک ناشر را تبدیل می‌کند به سبدی متشکل از یک ریسک واحد به مقدار بسیار زیاد. به همین دلیل، مدیریت و خنثی کردن این ریسک پیچیده‌تر از مدریت ریسک‌های بیمه است. 

منابع:

-  Options, futures and other derivatives, J Hull - 2009 - Pearson Prentice Hall

- همین وبلاگ

[PDF] from cuny.edu

مدل بلک - شولز چه مشکلی دارد؟ قسمت چهارم

با عرض معذرت فراوان به خاطر تاخیر در سری پست‌های مشکلات مدل بلک-شولز، تصمیم دارم که این مبحث را بالاخره با سرانجامی برسانم. تمام پست‌های قبلی (اول، دوم، و سوم) بحث توزیع آماری داده‌های قیمت سهام و آزمون نرمال بودن بازده‌ی سهام را مطرح کردم. قصدم از مدت‌ها قبل این بود که در این پست هم به همین بپردازم و به بیانی دقیق‌تر، با استفاده از تست کلموگوروف-اسمیرنف، فرض نرمال بودن را در بسیاری از داده‌ها رد کنم. این کار را هم کردم و حتی به مشکلات دیگر مدل از جمله ضریب نوسان ثابت و عدم تطبیق آن با ضریب نوسان القایی (implied volatility) و تبسم ضریب نوسان (volatility smile) اشاره کنم. اما اکنون که زمان زیادی از سه پست قبلی گذشته است، نظرم به کلی تغییر کرده است. دلیل این تغییر هم چیزی نیست جز این که نگاه پخته‌تری به مساله پیدا کرده‌ام. منکر این نیستم که می‌توان با انتخاب فرایندهای جهش-پخش (jump-diffusion models) به عنوان مدل قیمت سهام و یا وابسته کردن ضریب نوسان به قیمت سهام (local volatility) و حتی متغیرهای دیگر (stochastic volatility)، تطبیق بهتری از مدل با داده‌ها یافت. اما جنبه‌هایی از مساله را نمی‌توان با پیچیده کردن مدل فهمید.
برای روشن‌تر شدن مطلب، عجالتا فرض کنید که قانون حکم فرما بر قیمت اعلان شده‌ی سهام در بازار همان مدل بلک-شولز است و نه غیر. در مقاله‌های کلاسیک مرتون و بلک-شولز، قیمت یک اختیار اروپایی در مدل بلک-شولز محاسبه شده است، با فرض این که بازار کامل است. بازار کامل بازاری است که در آن می‌توان برای هر قرارداد مشتقی یک سبد معادل‌ساز ساخت که تعریف آن این است که می‌توان ریسک ناشی از انتشار هر قرارداد مشتق را با تشکیل سبدی از سهام موجود در بازار خنثی کرد. این نتیجه‌ی به وضوح غیرواقعی، بر چندین فرض استوار است. فرض اول این که می‌توان به طور پیوسته و بی وقفه در بازار خرید و فروش کرد. دیگر این که در خرید و فروش سهام هیچ هزینه‌ی معاملاتی به خریدار یا فروشنده تحمیل نمی‌شود. سوم این که برای تطبیق سبد معادل‌ساز با تغییرات قیمت سهام (رجوع شود به پست حروف یونانی)، می‌توان هر میزان سهام را با قیمت اعلان شده در بازار خرید.
بر مبنای فرض اول و نتیجه‌ی بلک-شولز، برای این که ریسک قراردادهای مشتق را خنثی کنیم، باید بر اساس استراتژی دلتا-ریسک‌زدایی (delta-hedging)، به طور مرتب با هر اعلان قیمت جدید، سبد معادل‌ساز را تغییر دهیم. یک خطا ناشی از این است که قیمت برخلاف مدل بلک-شولز پیوسته اعلان نمی‌شود. این خطا را می‌توان به خوبی محاسبه کرد. در واقع چون جواب معادله‌ی با مشتقات جزئی بلک-شولز هموار است، می‌توان خطای اجرای استراتژی گسسته را محاسبه کرد و هزینه‌ی آن را به قیمت اختیار افزود. برای مثال می‌توانید به این مقاله‌ی کلاسیک رجوع کنید یا در گوگل جستجو کنید «delta-hedging in discrete-time».
اما خطای دیگر ناشی از این است که بر مبنای فرض دوم، هزینه‌ی معاملاتی در نظر گرفته نشده است. اگر شما در طول یک روز بخواهید با هر اعلان قیمت؛ مثلا ۱۰۰۰ بار در روز؛ سبد معادل‌ساز را تطبیق دهید، باید روزی ۱۰۰۰ معامله انجام دهید و با هر معامله، هزینه‌ی معاملاتی پرداخت کنید. نشان‌داده شده است که با اجرای استراتژی بلک-شولز، هزینه‌های معاملاتی به بی‌نهایت میل می‌کند که عملا استراتژی را از کارایی می‌اندازد! بر خلاف مساله‌ی مطرح شده در پاراگراف بالا، این بار مشکل اساسی‌تر است. مثلا این و این نشان داده‌اند که با اعمال هزینه‌های معاملاتی در معاملات گسسته، می‌توان همان مدل بلک-شولز را به کار برد اما با یک ضریب نوسان دیگر که به هزینه‌های معاملاتی و بسامد معاملات بستگی دارد. بعد از این مقالات، افراد زیادی مساله را پیش برده اند. برخی به مدل‌های غیرخطی رسیده‌اند و برخی دیگر خطاهایی از مرتبه‌های مختلف برای هزینه‌های معاملاتی کوچک محاسبه کرده‌اند.
مساله‌ی سوم هم جدی است. هزینه های نقدشوندگی هزینه‌هایی هستند که در در معاملات واقعی تاثیر می‌گذارند. مثلا شما قیمت بازاری سهام را ۱۲۰ می‌بینید. تصمیم می‌گیرید که سهام بخرید و در جدول پیشنهاد فروش (bid) فقط ۵۰۰ سهم به قیمت ۱۲۰ موجود است. قیمت بعدی ۱۲۲ است. اگر شما نیاز به ۵۸۰ سهم داشته باشید، باید ۵۰۰ عدد آن را با قیمت ۱۲۰ و ۸۰ عدد آن را با قیمت ۱۲۲ بخرید. بنابراین، قیمت تمام‌شده سهام ۱۲۰/۲۸ خواهد بود نه ۱۲۰. به مقدار ۰/۲۸ هزینه‌ی نقدشوندگی می‌گویند. هزینه‌های نقدشوندگی هم همانند هزینه‌های معاملاتی در مدل بلک-شولز به بی‌نهایت میل می‌کنند. بنابراین، اجرای استراتژی پیشنهادی مدل بلک-شولز را غیرممکن می‌سازند. بنابراین، روش‌های نظیر ریسک‌زدایی از بالا (super-hedging) پیشنهاد شده است و با استفاده از اصول بهینه‌سازی، استراتژی‌های قابل اجرایی‌تر در وجود هزینه‌های نقدشوندگی ارائه می‌دهند. برخی از این رویکردها به معادلات غیرخطی منجر می‌شوند که هم‌چنان بر استراتژی‌های پیوسته اصرار دارند؛ برخی دیگر هم استراتژی‌های گسسته و رفتار مجانبی آن‌ها را بررسی کرده‌اند. یک مرور کلی بر همه‌ی آن‌چه را در مورد هزینه‌های نقدشوندگی در ریاضیات مالی می‌دانیم، می‌توان در این کتاب یافت.
ذکر این نکته را ضروری می‌دانم که معامله‌ی پیوسته هرگز امکان‌پذیر نیست. معامله‌ی با فرکانس بالا هم وقتی سودمند است که سود معامله هزینه‌های معاملاتی و نقدشوندگی را پوشش دهد که در مورد ریسک‌زدایی از قراردادهای مشتق چنین اتفاقی محال است. بنابراین، یافتن یک استراتژی پیوسته فقط وفقط برای این است که آن را به طور گسسته اعمال کنیم. همان‌طور که قبلا گفته شد، خطای اعمال گسسته‌ی یک استراتژی پیوسته قابل اندازه گیری است و معمولا چندان زیاد نیست.
بنابراین، مدل بلک-شولز صرف نظر از عدم تطبیق آن با توزیع آماری داده‌های قیمت سهام، مشکلات اساسی‌تری هم دارد. حتی اگر مدلی یافت شود که با توزیع آماری داده‌ها تطبیق داشته باشد، باز هم مشکلات بالا سر جای خود هستند. با نگاهی به ادبیاتی که این مشکلات را مورد بررسی قرارداده‌اند، می‌توان دریافت که این مشکلات آن قدر اساسی هستند که حتی حل آن‌ها در مدل ساده‌ی بلک-شولز هم می‌تواند دریچه‌ی جدیدی باز کند. با این وجود، در بسیاری از این مقالات، مدل‌های کلی‌تر هم بررسی شده‌اند.