مدمج‌ها چگونه در ریاضیات مالی ظاهر می‌شوند؟

استفاده از ابزار معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی؛ یا به اختصار همان مَدمَج خودمان!؛ مختص ریاضیات مالی نیست. مدمج یک ابزار ریاضی است که فراوان در علوم مهندسی، اقتصاد، زیست‌شناسی، محیط‌شناسی و غیره به کار گرفته می‌شود. [مدمج را جدی نگیرید. اجبار به تکرار عبارت  معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی در این نوشتار، کار را سخت می‌کرد. بنابراین، برای راحتی خودم، در این نوشتار از مختصرشده‌ی آن «مدمج» استفاده می‌کنم]. دلیل آن این است که مدل‌های ریاضی برای پدیده‌های مورد مطالعه، بر اساس تغییرات فی‌مابین کمیت‌های موثر در آن‌ها و روابط بین این تغییرات استوار است و طبیعتا چون تغییرات در ریاضیات همان مشتق است، بنابراین، ناگزیر مدمج‌ها ظاهر می‌شوند. در مدمج‌ها، تغییرات برخی از کمیت‌های مجهول نسبت به کمیت‌های معلوم به صورت  مشتق‌های جزئی ظاهر شده‌اند. هدف اصلی حل این مدمج‌ها و در نتیجه یافتن کمیت‌های مجهول بر حسب کمیت‌های معلوم است و به عبارت درست‌تر پیشبینی این کمیت‌ها است.

با این مقدمه کوتاه، تا حدی روشن است که قرار است چه کاری انجام شود. در ادامه، مطلب را با ارائه‌ی چند مثال پیش می‌بریم. مثال اول، همان مثال معروف ارزیابی اختیار خرید است. اختیار خرید؛ همان‌طور که بارها در این وبلاگ به آن اشاره شده است؛ یک ابزار پوشش ریسک بازار است. ناشر اختیار خرید به دارنده‌ی آن این اختیار را می‌دهد که دارایی مشخصی را در زمان مشخصی در آینده، به قیمت درج شده در اختیار، خریداری کند. [برای کسب اطلاعات بیشتر در این زمینه این‌جا را بخوانید]. به آن دارایی، دارایی زمینه (underlying asset) و به قیمت درج شده، قیمت ضرب (strike price) می‌گویند. قیمت یک اختیار خرید، تابعی است از قیمت دارایی زمینه‌ی آن و زمان باقی‌مانده تا اجرای آن. بنابراین، برای پیدا کردن قیمت آن، باید این تابع را پیدا کرد. در نظریه‌ی عدم آربیتراژ، مدل‌های پخش (diffusion) برای قیمت دارایی زمینه، منجر به یک مدمج برای قیمت اختیار خرید می‌شود؛ به بیان، ساده‌تر معادله‌ای بر حسب مشتق قیمت اختیار بر حسب قیمت دارایی پایه و مشتق قیمت اختیار بر حسب زمان باقی‌مانده تا اجرا. یک حالت خاص آن وقتی است که مدل قیمت دارایی زمینه، مدل بلک-شولز است که منجر به مدمج بلک-شولز می‌شود و فرمول بلک-شولز جواب این مدمج است. برای دریافت جزئیات بیشتر می‌توانید به مراجع مراجعه کنید.
حداقل در مورد مثال اول، روش‌های پیوسته بر پایه‌ی مدمج‌ها، جواب‌های بهتری نسبت به روش‌های گسسته نظیر مدل دوجمله‌ای می‌دهند. به طور کلی، در ریاضیات مدل‌های پیوسته، فضای بیشتری برای مانور در اختیار می‌گذارند تا مدل‌های گسسته.
مثال دیگری که در این پست می‌آوریم، بهینه‌سازی مصرف در سرمایه‌گذاری است. فرض کنید که مقداری سرمایه در اختیار داریم و می‌خواهیم آن را در کالا‌های ریسکی و حساب بانکی بدون ریسک سرمایه‌گذاری کنیم. به علاوه، قرار است از حساب بانکی، برای مصارف روزمره برداشت کنیم. فرض کنید میزان رضایت ما از مصرف تابعی از مبلغ مصرفی است. هدف این است که مجموع رضایت از مصرف در طول زمان بیشترین مقدار ممکن شود. در این میان آن چه مجهول است همین بیشترین میزان رضایت است. کمیت‌های دیگر، مقدار سرمایه‌ی اولیه، و قیمت دارایی‌های ریسکی است که قرار است روی آن سرمایه‌گذاری کنیم. بهترین استراتژی سرمایه‌گذاری و بیشترین مقدار ممکن مصرف از حساب بانکی از طریق بیشترین میزان رضایت قابل محاسبه  است. بیشترین میزان رضایت جواب یک مدمج است که به آن مدمج مصرف در سرمایه‌گذاری مرتون می‌گویند. در این مدمج، مشتق میزان رضایت از مصرف نسبت به حجم سرمایه‌گذاری و قیمت کالاهای ریسکی ظاهر شده است.
به طور کلی، هر جا که یک مساله بهینه‌سازی در یک مدل پیوسته داریم، می‌توانیم آن را با ارائه‌ی یک مدمج حل کنیم. برای حل مدمج‌ها روش‌های عددی بسیار گسترده هستند. به مدمج‌هایی که از مسائل بهینه‌سازی استخراج می‌شوند، معادلات هامیلتون-ژاکوبی-بلمن (Hamilton-Jacobi-Bellman) یا به اختصار اچ-جی-بی می‌گویند. این نوع مدمج‌ها در بسیاری از مدل‌های مالی از جمله مدل‌های نقدشوندگی و هزینه‌های معاملاتی ظاهر می‌شوند. مراجع معرفی شده در زیر این پست، برای درک بهتر استفاده از مدمج‌ها در مالی راه‌گشا هستند.

مراجع:

- Options, futures and other derivatives, J Hull - 2009 - Pearson Prentice Hall

- Arbitrage Theory in Continuous Time, Tomas Björk - 2004 - Oxford University Press

- Stochastic differential equations: an introduction with applications, Bernt Karsten Øksendal, Springer
- Merton, Robert C. (1973). "Theory of Rational Option Pricing". Bell Journal of Economics and Management Science (The RAND Corporation) 4 (1): 141–183.
- Merton, Robert C., Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model, J. Econom. Theory 3 (1971), no. 4, 373–413. 
- Fleming, Wendell H.; Soner, H. Mete, Controlled Markov processes and viscosity solutions, Second edition. Stochastic Modelling and Applied Probability, 25. Springer, New York, 2006. xviii+429 pp.